Los ángulos se clasifican de acuerdo a su medida de la siguiente forma:
Ángulo Agudo: Es aquel que mide más de 0° y menos de 90°.
Ángulo Recto: Es aquel que mide exactamente 90°.
Ángulo Obtuso: Es aquel que mide más de 90° y menos de 180°.
Ángulo llano o extendido: Es aquel que mide exactamente 180°, equivale a una recta.
Los elementos de los polígonos son :
a) Lados: segmentos que limitan el polígono , AB , BC , CD , DA .
b) Perímetro: suma de las longitudes de los lados .
c) Vértices: Puntos donde se unen dos lados consecutivos , A , B , C , D . En todo polígono el nº de lados y vértices coincide .
d) Diagonales: son los segmentos que unen vértices no consecutivos .
e) Ángulos interiores: son los ángulos formados por lados consecutivos .
f) Ángulos exteriores: son los ángulos formados por un lado y la prolongación de otro consecutivo .
Clasificación de los polígonos :
a) Por el número de lados :
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octógono
Eneágono
Decágono
b) Por su forma :
Equilátero : lados iguales
Equiángulo : ángulos iguales
Regular : lados y ángulos iguales
Irregular : lados y ángulos desiguales
Un polígono se halla inscrito en una circunferencia cuando todos sus vértices están contenidos el ella . Se dice entonces que la circunferencia está circunscrita al polígono .
Un polígono se halla circunscrito a una circunferencia cuando todos sus lados son tangentes ( tocan en un solo punto ) a la misma . Se dice entonces que la circunferencia está inscrita en el polígono .
Cuadrilátero inscrito en la circunferencia Pentágono circunscrito a una circunferencia
o circunferencia circunscrita al cuadrilátero o circunferencia inscrita en el pentágono .
Medida de ángulos
Puesto que el ángulo recto resulta una medida demasiado grande para medir ángulos , se definen otro tipo de unidades :
c) Radián:
Un radián es el ángulo cuyo arco tiene la longitud igual al radio de una circunferencia centrada en el vértice .
Como ya veremos el perímetro de una circunferencia es 2··R = 2·3'14·R=6'28·R es decir el perímetro de una circunferencia es aproximadamente 6 veces el radio de la circunferencia que nosotros dibujemos . Por lo tanto en un giro completo hay 6'28 radianes , es decir :
1 revolución = 360º = 2· radianes
Si hacemos una regla de tres :
360º 2· radianes
xº 1 radián
x = 360/2· = 57'29º
En el caso de que tengamos que pasar de grados a radianes (o a la inversa) resolveremos una regla de tres , siempre dejando el valor de sin operar , por ejemplo :
¿ Cuántos radianes son 30º ?
360º 2· radianes
30º x radianes
x = 30·2·/360 = /6 radianes
¿ Cuántos grados son /4 radianes ?
360º 2· radianes
x /4 radianes
x = (360·/4)/2 = 45º
Expresión compleja y decimal de la medida de un ángulo sexagesimal
La medida de un ángulo puede venir expresada en grados , minutos y segundos , o en una sola unidad :
8º 30' 36'' 8'51º
Forma compleja Forma decimal
Veamos como se pasa de una a otra :
8º 30' 36'' = 8º 30' 36/60' = 8º 30' 0'6' = 8º 30'6' = 8º 30'6/60º = 8º 0'51º = 8'51º
8'51º = 8º 0'51·60' = 8º 30'6' = 8º 30' 0'6·60'' = 8º 30' 36''
Operaciones con medidas de ángulos sexagesimales
a) Suma
Para sumar ángulos deberemos sumar grados con grados , minutos con minutos y segundos con segundos .
32º 15' 6''
+ 2º 8' 29''
34º 23' 35''
Si el resultado de alguna de estas sumas es mayor o igual que 60 , lo pasamos a la unidad inmediatamente superior .
15º 20' 16''
+ 20º 30' 54''
35º 50' 70''
Teniendo en cuenta que 70'' = 1' 10'' el resultado de la suma lo expresariamos como :
35º 51' 10''
Importante : si la suma de dos ángulos es 90º , es decir , juntos forman un ángulo recto , se dice que son complementarios . Si la suma de dos ángulos es 180º , es decir , forman un ángulo llano , se dice que son suplementarios .
b) Resta
La operación se dispone igual que la suma
30º 31' 12''
- 22' 48''
Puesto que no podemos restarle 48'' a 12'' debemos modificar el minuendo pasando 1 minuto a segundos : 30º 31' 12'' = 30º 30' 72''
Con lo cual ya podemos realizar la resta :
30º 30' 72''
- 22' 48''
30º 8' 24''
c)Multiplicación
Para multiplicar un ángulo por un número natural debemos multiplicar los grados minutos y segundos por ese número :
4º 20' 10''
x 5
20º 100' 50''
Ahora bien como 100' = 1º 40' se tiene que : 20º 100' 50'' = 21º 40' 50''
d) División
Par dividir un ángulo entre un número natural , se dividen por separado grados , minutos y segundos entre este número natural :
206º 37' 46'' 5
06º 41º 19' 33''
1ºx60 = 60'
97'
47'
2'x60 = 120''
166''
16
1''
Otra forma de operar con grados sexagesimales sería convertir los ángulos a grados solamente y operar con ellos , y después si se quiere convertirlo otra vez a grados minutos y segundos .
32º 15' 6'' = 32º + 15/60º + 6/3600º = 32º + 0'25º + 0'00166 = 32'25166º
2º 8' 29'' = 2º + 8/60º + 29/3600º = 2º + 0'133º + 0'00805º = 2'14105º
34'39271º
34º
0'39271·60 = 23'5626'
0'5626·60 = 35''
Por lo que obtendriamos el mismo resultado : 34º 23' 35''
Ángulo Agudo: Es aquel que mide más de 0° y menos de 90°.
Ángulo Recto: Es aquel que mide exactamente 90°.
Ángulo Obtuso: Es aquel que mide más de 90° y menos de 180°.
Ángulo llano o extendido: Es aquel que mide exactamente 180°, equivale a una recta.
Los elementos de los polígonos son :
a) Lados: segmentos que limitan el polígono , AB , BC , CD , DA .
b) Perímetro: suma de las longitudes de los lados .
c) Vértices: Puntos donde se unen dos lados consecutivos , A , B , C , D . En todo polígono el nº de lados y vértices coincide .
d) Diagonales: son los segmentos que unen vértices no consecutivos .
e) Ángulos interiores: son los ángulos formados por lados consecutivos .
f) Ángulos exteriores: son los ángulos formados por un lado y la prolongación de otro consecutivo .
Clasificación de los polígonos :
a) Por el número de lados :
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octógono
Eneágono
Decágono
b) Por su forma :
Equilátero : lados iguales
Equiángulo : ángulos iguales
Regular : lados y ángulos iguales
Irregular : lados y ángulos desiguales
Un polígono se halla inscrito en una circunferencia cuando todos sus vértices están contenidos el ella . Se dice entonces que la circunferencia está circunscrita al polígono .
Un polígono se halla circunscrito a una circunferencia cuando todos sus lados son tangentes ( tocan en un solo punto ) a la misma . Se dice entonces que la circunferencia está inscrita en el polígono .
Cuadrilátero inscrito en la circunferencia Pentágono circunscrito a una circunferencia
o circunferencia circunscrita al cuadrilátero o circunferencia inscrita en el pentágono .
Medida de ángulos
Puesto que el ángulo recto resulta una medida demasiado grande para medir ángulos , se definen otro tipo de unidades :
c) Radián:
Un radián es el ángulo cuyo arco tiene la longitud igual al radio de una circunferencia centrada en el vértice .
Como ya veremos el perímetro de una circunferencia es 2··R = 2·3'14·R=6'28·R es decir el perímetro de una circunferencia es aproximadamente 6 veces el radio de la circunferencia que nosotros dibujemos . Por lo tanto en un giro completo hay 6'28 radianes , es decir :
1 revolución = 360º = 2· radianes
Si hacemos una regla de tres :
360º 2· radianes
xº 1 radián
x = 360/2· = 57'29º
En el caso de que tengamos que pasar de grados a radianes (o a la inversa) resolveremos una regla de tres , siempre dejando el valor de sin operar , por ejemplo :
¿ Cuántos radianes son 30º ?
360º 2· radianes
30º x radianes
x = 30·2·/360 = /6 radianes
¿ Cuántos grados son /4 radianes ?
360º 2· radianes
x /4 radianes
x = (360·/4)/2 = 45º
Expresión compleja y decimal de la medida de un ángulo sexagesimal
La medida de un ángulo puede venir expresada en grados , minutos y segundos , o en una sola unidad :
8º 30' 36'' 8'51º
Forma compleja Forma decimal
Veamos como se pasa de una a otra :
8º 30' 36'' = 8º 30' 36/60' = 8º 30' 0'6' = 8º 30'6' = 8º 30'6/60º = 8º 0'51º = 8'51º
8'51º = 8º 0'51·60' = 8º 30'6' = 8º 30' 0'6·60'' = 8º 30' 36''
Operaciones con medidas de ángulos sexagesimales
a) Suma
Para sumar ángulos deberemos sumar grados con grados , minutos con minutos y segundos con segundos .
32º 15' 6''
+ 2º 8' 29''
34º 23' 35''
Si el resultado de alguna de estas sumas es mayor o igual que 60 , lo pasamos a la unidad inmediatamente superior .
15º 20' 16''
+ 20º 30' 54''
35º 50' 70''
Teniendo en cuenta que 70'' = 1' 10'' el resultado de la suma lo expresariamos como :
35º 51' 10''
Importante : si la suma de dos ángulos es 90º , es decir , juntos forman un ángulo recto , se dice que son complementarios . Si la suma de dos ángulos es 180º , es decir , forman un ángulo llano , se dice que son suplementarios .
b) Resta
La operación se dispone igual que la suma
30º 31' 12''
- 22' 48''
Puesto que no podemos restarle 48'' a 12'' debemos modificar el minuendo pasando 1 minuto a segundos : 30º 31' 12'' = 30º 30' 72''
Con lo cual ya podemos realizar la resta :
30º 30' 72''
- 22' 48''
30º 8' 24''
c)Multiplicación
Para multiplicar un ángulo por un número natural debemos multiplicar los grados minutos y segundos por ese número :
4º 20' 10''
x 5
20º 100' 50''
Ahora bien como 100' = 1º 40' se tiene que : 20º 100' 50'' = 21º 40' 50''
d) División
Par dividir un ángulo entre un número natural , se dividen por separado grados , minutos y segundos entre este número natural :
206º 37' 46'' 5
06º 41º 19' 33''
1ºx60 = 60'
97'
47'
2'x60 = 120''
166''
16
1''
Otra forma de operar con grados sexagesimales sería convertir los ángulos a grados solamente y operar con ellos , y después si se quiere convertirlo otra vez a grados minutos y segundos .
32º 15' 6'' = 32º + 15/60º + 6/3600º = 32º + 0'25º + 0'00166 = 32'25166º
2º 8' 29'' = 2º + 8/60º + 29/3600º = 2º + 0'133º + 0'00805º = 2'14105º
34'39271º
34º
0'39271·60 = 23'5626'
0'5626·60 = 35''
Por lo que obtendriamos el mismo resultado : 34º 23' 35''